Добро пожаловать в мир, не ограниченный тремя измерениями. Здесь Вы можете выйти за пределы привычного пространства и познать новые, доселе неизвестные особенности геометрических объектов.
Но поменьше красивых слов, побольше сути.
Читать дальшеИтак, четвёртое измерение.
Мы привыкли жить в пространстве, иначе говоря, в размерности 3, все объекты которой являются трёхмерными. Но с течением времени эти объекты могут меняться, разрушаться, соединяться в новые. Время, как Вы наверняка уже слышали, и есть то самое четвёртое измерение. Но это не значит, что у него нет тех свойств, которые присущи остальным трём. Отличие его от остальных заключается лишь в том, что если передвижение в первых трёх мы контролируем самостоятельно (если не считать движения нашей планеты в космосе и т. д.), то по оси времени мы движемся постоянно с одной скоростью и не можем это остановить. В остальном, это самое обычное измерение, не имеющее никаких отдельных особенностей от остальных.
Пока что мы не будем рассматривать его свойства, связанные с течением времени. Мы примем его просто как новое измерение, дополняющее остальные три.
Но чтобы дойти до этого, нам придётся начать с нуля. Из точки. Мы будем добавлять по одному измерению и рисовать соответствующие оси, увеличивая размерность пространства.
Итак.
1-е пространство
Размерность: 0
Рис. 1.1
Название: точка
Вводимая ось: начало координат
Обозначение оси: 0
Что измеряет: ничего
Это мельчайшая единица геометрии, в которой ничего не изменить.
Далее.
2-е пространство
Размерность: 1
Рис. 1.2
Название: прямая
Вводимая ось: абсцисса
Обозначение оси: x
Что измеряет: длина
Мы вводим первое измерение с помощью прямой. Это первая ось, абсцисса, она обозначается "x" и измеряет длину объекта. На рисунке 1.2 показано, как точки располагаются на прямой вдоль оси X.
Далее.
3-е пространство
Размерность: 2
Рис. 1.3
Название: плоскость
Вводимая ось: ордината
Обозначение оси: y
Что измеряет: ширина
Вводим второе измерение, проводя ещё одну прямую перпендикулярно первой. Получается плоскость, т. е. пространство размерности 2. Вводимая ось - ордината, обозначается "y". На рис. 1.3 показано, как прямые располагаются на плоскости вдоль оси Y.
Далее.
4-е пространство
Размерность: 3
Это привычное нам пространство, и перед нами стоит задача его изобразить на плоскости "тетради", орудуя "карандашом". Мы будем делать это из абсолюта, по-своему, не основываясь на привычных принципах его изображения.
Логично, что, исходя из рис. 1.3, третью ось не будет видно, т. к. она располагается к нам "лицом", проходя издали и приближаясь. Чтобы увидеть её, нам нужно повернуться в трёхмерном пространстве. Поскольку в изображении на плоскости мы этого сделать не можем, то будем представлять себе, как мы повернулись, а на плоскости рисовать двухмерную проекцию того, что мы видим. Но что конкретно мы увидим, и как именно нам надо повернуться?
Чтобы было хорошо видно третью ось, мы повернёмся двумя способами сразу: как "обойдём" её сбоку, не доходя до конца, чтобы первая ось не смотрела на нас "лицом" - обойдём ровно наполовину, так и немного "взлетим" над ней - опять же, наполовину. Вы можете представить себе, что Вы увидите. Но как это изобразить точно?
Для этого я взял небольшой квадратный листок картона и провёл вдоль его длины и ширины карандашом две оси. Затем я повернул его наполовину первым способом и наполовину вторым. Получилось, что первые две оси стали видны мне крестом. Причём, так как я поворачивался относительно плоскости квадрата наполовину, два угла между осями, составлявшие 90°, превратились в острые углы по 45°, а другие два прямых угла - соответственно, по 135°. Эти данные нам нужны, чтобы изобразить три оси. Глядя на мой повёрнутый в пространстве квадрат, я увидел, что третья ось будет проходить в проекции так, как раньше проходила первая, пересекая получившиеся тупые углы по 135° и деля их на равные, меньшие в два раза. Вообще-то эта ось будет ещё и приближаться ко мне, но на проекции этого не видно, поэтому опустим пока что эту деталь, так же как и тот факт, что все четыре угла на самом деле по-прежнему составляют 90°, ведь в двухмерной проекции того, что мы видим, они будут выглядеть как два угла по 45° и два - по 135°.
В итоге получается, что при повороте в трёхмерном пространстве две первые оси приближаются друг к другу своими условными, так сказать, "концами", образуя уже названные углы (на рисунке 1.4 меры углов изображены примерно). А третья ось из точки превращается в прямую, проходящую слева направо - как ранее ось X. В геометрии принято, чтобы третья ось при изображении на плоскости была ближе своей стрелкой к нам. Так и сделаем.
Рис. 1.4
На рис. 1.4 видим, как была проведена третья ось перпендикулярно первым двум. Получается пространство размерности 3. Новая ось - аппликата, обозначается "z". На рис. 1.4 показано, как плоскости располагаются в пространстве вдоль оси Z. На самом деле, т. к. чем правее находится объект по оси Z, тем он к нам ближе, находящиеся правее объекты будут казаться больше. Чтобы это наглядно продемонстрировать, я изобразил плоскость, что правее, больше той, что посредине, а ту, что левее, - меньше. Глядя на этот рисунок, нетрудно интуитивно осознать, как проходят плоскости в пространстве. Это видно по рисунку. Но не забудем нашу характеристику пространства.
Название: пространство
Вводимая ось: аппликата
Обозначение оси: z
Что измеряет: высота.
Далее.
Подходим к ключевому моменту. К вводу четвёртой оси и изображению пространства размерности 4.
Обычно, объясняя четвёртое измерение, в этом месте говорят что-то вроде: "Теперь нам нужно изобразить четвёртую ось, проходящую перпендикулярно другим трём. Но это невозможно. Поэтому мы пойдём по другому пути". И дальше объяснение сводится к какому-то другому способу. Я же так делать не буду. Проведя свои исследования, я сумел продолжить аналогию и изобразить четвёртую ось. Что ж, продолжим. Будем всё делать по аналогии.
5-е пространство
Размерность: 4
Наша задача - изобразить четвёртую ось. Имея при себе лишь двухмерный "холст" и исходя из того, как мы выбрались из положения при переходе к третьему измерению, сделаем так же и здесь.
Выходит, что четвёртая ось будет изображена как точка, поскольку "смотрит" сквозь время на нас, и мы её не видим. Тогда нам нужно повернуться в чертырёхмерном пространстве, чтобы она предстала нам в виде прямой. Но вот этого-то мы точно сделать не можем. Поэтому не можем представить себе, что бы мы увидели. Зато мы уже знаем, что произошло с изображёнными осями в прошлый раз, когда мы повернулись в трёхмерном пространстве, и по аналогии применим эту формулу здесь.
Таким образом, следуя аналогии:
1.) Когда мы повернёмся в 4-мерном пространстве, условные "концы" первых трёх осей сблизятся так, что углы между ними уменьшатся в два раза и будут составлять, соответственно, по 22°30', или 22,5°.
2.) Глядя на рис. 1.4, видим, что при повороте порядок первых двух осей слева направо не изменился: вначале Y, затем X. Следуем аналогии: наши три оси будут называться слева направо в том же порядке: Y, X, Z.
3.) Четвёртая ось будет проходить так, чтобы делить образовавшиеся тупые углы на равные поменьше, т. е. так, как ранее проходила ось Z, а ещё раньше - ось X.
4.) Объекты, находящиеся правее, будут ближе к нам (во времени) и будут выглядеть большими.
Исходя из этих данных, изображаем получившуюся картину.
Рис.1.5
Итак, на получившемся рис. 1.5 мы видим четвёртую ось - ось времени, вдоль которой располагаются пространства. К сожалению, увидеть и понять это расположение интуитивно по этому рисунку Вы не сможете, но теперь у Вас сформировано математическое восприятие четвёртого измерения: Вы имеете представление о том, как изобразить все 4 оси так, чтобы ни одна из них не выглядела как точка.
Четвёртая ось проведена перпендикулярно первым трём, хоть на рисунке так и не кажется (на рис 1.4 тоже не кажется, что оси X и Y перпендикулярны; тем не менее, это так, и за счёт умения интуитивно воспринимать 3 измерения мы это видим).
Я дал четвёртой оси имя "темпусата" (лат. tempus - время) и обозначение "t" (впрочем, обозначение T ей давали и до меня - видимо, от английского слова "time" - время).
Как называется четырёхмерное пространство? Название уже дано до меня: пространство-время. Логично, ведь к обычному пространству просто добавляется ось времени. Поэтому на рисунке изображены пространства, проходящие в пространстве-времени вдоль оси T. Но если первые три оси измеряют длину, ширину и высоту объекта, то что измеряет четвёртая? По сути, это продолжительность существования объекта во времени, но подробнее об этом в следующих главах. Пока остановимся на факте, что измеряется просто продолжительность.
Теперь характеристика
Название: пространство-время
Вводимая ось: темпусата
Обозначение оси: t
Что измеряет: продолжительность.
Таким образом, обобщая характеристику, можно сказать, что:
- нам известны 5 типов пространств разной размерности: точка (0), прямая (1), плоскость (2), пространство (3), пространство-время (4);
- нам известны 4 оси, обозначающие четыре измерения: абсцисса (x), ордината (y), аппликата (z), темпусата (t). Они измеряют соответственно длину, ширину, высоту и продолжительность объекта.
Теперь ещё кое о чём. Ввод оси Y, образующей вместе с осью X плоскость, даёт нам возможность вычислить новую характеристику объекта, которой не было в одном измерении. Это его площадь.
С добавлением третьей оси и переходом к пространству появляется возможность вычислить ещё одну характеристику, не свойственную объектам размерности меньше 3: объём.
Что даёт нам возможность вычислить добавление четвёртой оси? По сути, новое понятие - аддитивная функция, характеризующая вместимость области пространства-времени, которую занимает четырёхмерный объект. Но это не для Вас - ни к чему кидаться сложными понятиями. Говоря проще, если объём - это часть пространства, занимаемая объектом, то новое понятие - часть пространства-времени, занимаемая объектом. Поскольку это понятие характеризует объём и продолжительность объекта, я назвал эту характеристику просто: бытиё. Бытиё объектов измеряется в метрах в четвёртой степени.
Итак, прочитав эту главу, Вы научились математически осознавать четвёртое измерение и узнали характеристики оси T и четырёхмерных объектов. В следующей главе мы по такой же аналогии рассмотрим первый четырёхмерный объект и его особенности.
Спасибо за внимание.
Nukie