И снова приветствую Вас в мире, не ограниченном тремя измерениями. В этой главе мы ступим на следующую ступеньку познания четвёртого измерения - четырёхмерные объекты. Мы детально рассмотрим простейший из них.
Читать дальшеИтак, мы снова будем идти с самого начала, чтобы соблюдать аналогию. Теперь мы будем увеличивать размерность не только пространства, а и объекта в нём. Как исходный объект возьмём трёхмерный куб (со стороной a). Как и в случае с трёхмерным пространством - частью последовательности пространств разной размерности, куб является частью такой последовательности объектов разных размерностей: аналог куба размерности 0, его аналог размерности 1, его аналог размерности 2, сам куб. После куба идёт его аналог размерности 4, к которому мы придём в конце.
Что ж, вперёд. Будем снова давать каждому примеру характеристику.
Аналог куба размерности 0.
Название: точка.
Рис. 2.1
С этим всё понятно. Размерности 0 может быть только точка. Можно назвать её A.
Далее.
Переходим к первому измерению. Вводится ось x, абсцисса. Типы одномерных объектов очень малочисленны: это прямая, луч и отрезок. Поскольку трёхмерный куб является чётко ограниченным по своему объёму объектом, то и его одномерный аналог будет чётко ограничен по своей длине. Стало быть, это отрезок. Он равен a, т. к. это сторона исходного куба, а в нём равны все стороны, а значит, и все стороны его аналогов других размерностей.
Аналог куба размерности 1.
Название: отрезок (=a).
Рис. 2.2
А теперь обратим внимание на то, как был построен этот объект: мы взяли два аналога куба предыдущей размерности - две точки (обозначив их A и A' ("A штрих")) - на расстоянии друг от друга, равном a (стороне исходного куба), по новой, добавленной оси (в данном случае это Ox) и соединили их соответствующие вершины (в данном случае это сами точки) отрезками (в данном случае, так как точки всего две, это один отрезок). Запомните это, по тому же принципу мы будем строить и объекты следующих размерностей.
Запишем способ, разделив его на этапы.
1.) Ввести новую ось.
2.) Расположить два аналога куба предыдущей размерности на расстоянии a друг от друга по новой оси.
3.) Соединить соответствующие вершины объектов отрезками.
Далее.
Второе измерение. Действуем по тому же принципу. Вводится новая ось. Берём два аналога куба предыдущей размерности, располагаем их на расстоянии a друг от друга по новой оси и соединяем соответствующие вершины отрезками. То есть: вводим ось y; берём два отрезка, равных a (назовём их AB и A'B'), и располагаем их на расстоянии a друг от друга по оси y; соединяем соответствующие вершины (A и A', B и B') отрезками. Получается прямоугольник, все стороны которого равны a, то есть квадрат. По точкам он обозначается ABB'A'.
Аналог куба размерности 2.
Название: квадрат (со стороной a).
Рис. 2.3
На рисунке видно, как были взяты отрезки AB и A'B', помещены на расстоянии a друг от друга по новой оси, и как затем A соединили отрезком с A', а B - с B'.
Далее.
Третье измерение. Мы уже знаем, что это сам куб, но не будем спешить. Следуем аналогии.
1.) Вводим новую ось - z.
2.) Берём два аналога куба предыдущей размерности (два квадрата, назовём их ABCD и A'B'C'D') и располагаем их на расстоянии a друг от друга по оси z.
3.) Соединяем соответствующие вершины отрезками. A соединяем с A', B - с B', C - с C', D - с D'.
Конечно, это придётся делать в пространстве. А у нас только плоскость для рисования. Поэтому вспомним из предыдущей главы, как мы располагали на плоскости три оси. Ox и Oy были приближены друг к другу своими условными "концами", а через тупые углы была проведена ось z, делящая эти углы пополам. Можете обратиться к соответствующему рисунку из той главы. Так вот, мы располагаем наши квадраты так, чтобы их противоположные (а соответственно, параллельные) стороны были параллельны осям x и y. Но где расположить второй квадрат? В какую сторону его "сдвигать", чтобы прийти к расстоянию между ними, равному a? Параллельно оси z. И соединяем соответствующие вершины.
Получится привычный нам куб, но наклонённый. На рисунке я изображу его уже повёрнутым ровно, как мы привыкли. Помимо этого, я применяю к нему известную геометрическую "неточность", то есть не учитываю перспективу, дабы не усложнять изображение. Зачем тогда было следовать принципу построения? Чтобы сформировать полную аналогию, ведь изобразить аналог куба размерности 4 Вы так просто не сможете, пока не знаете, как.
Квадраты ABCD и A'B'C'D' на рисунке будут выглядеть как параллелограммы, если мыслить в двух измерениях. То есть они как бы искажены.
В связи с этим введу новый термин. Псевдоискажение. Это представление объекта искажённым относительно двух измерений при повороте в пространстве размерности больше 2. Псевдоискажённый объект - объект, который (или его отдельная часть) выглядит искажённым, но на самом деле таковым не является.
Некоторые квадраты на рис. 2.4 выглядят в двух измерениях как параллелограммы, но это по-прежнему квадраты. Эти квадраты псевдоискажены. То есть и сам куб тоже псевдоискажён. Расстояния тоже псевдоискажаются, поэтому на рисунке не все рёбра куба будут выглядеть как a. Четыре из них нужно изобразить более короткими, можно на взгляд. Точно так же в двух измерениях рёбра будут казаться пересекающимися, что можно назвать псевдопересечением и отнести к виду псевдоискажения.
Продолжим. На рисунке я, помимо куба, изобразил в миниатюре три оси, чтобы было понятно, по какому принципу куб расположен и видно, какие рёбра какой оси (в соответствии с вводившимися) параллельны.
Аналог куба размерности 3.
Название: куб (с ребром a).
Рис. 2.4
Вот он, куб ABCDA'B'C'D'.
Далее.
Переходим к четвёртому измерению.
Как будем строить новый объект? По аналогии.
1.) Вводим новую ось. Темпусата, t.
2.) Берём два аналога куба предыдущей размерности - два куба. Назовём их ABCDEFKL и A'B'C'D'E'F'K'L'. Расположим их на расстоянии a друг от друга по оси t. Как это сделать? Соединяющие их отрезки (уже, можно сказать, перешли и к пункту 3 построения) будут параллельны оси t. То есть проводится та же процедура, что и с кубом, и в итоге после упрощения (не учитываем перспективу) получаются два обычных псевдоискажённых куба с ребром a, соответствующие вершины которых (A и A', B и B', C и C', D и D', E и E', F и F', K и K', L и L') соединены между собой отрезками, равными a.
Это четырёхмерный объект, а точнее, его трёхмерная проекция, а ещё точнее, плоское изображение двухмерной проекции его трёхмерной проекции, состоит из кубов. Причём опять же, некоторые из этих кубов псевдоискажены сильнее, чем остальные (не псевдоискажённые кубы на плоскости изобразить невозможно, так как для этого каждый квадрат должен выглядеть квадратом и на плоскости, а в кубе два квадрата выглядят как параллелограммы), но об этом и в целом о способах восприятия четырёхмерных объектов - в следующих главах.
Получившийся объект имеет название тессеракт. Его также иногда называют гиперкуб, но это неточное определение, т. к. гиперкуб означает аналог куба любой размерности больше 3.
Итак.
Аналог куба размерности 4.
Название: тессеракт.
Рис. 2.5
Это тессеракт ABCDEFKLA'B'C'D'E'F'K'L'. "Неточность" - рисунок без учитывания перспективы - здесь применять необязательно, если не поворачивать объект после построения перед изображением. Но это лишь меняет его восприятие, а об этом, как я уже сказал, в следующих главах. Кстати, о неточности - рисунок сам по себе немного неточен, поскольку тессеракт - сложный для построения объект, требующий предельной точности, так что лучше либо рисовать его от руки с точностью, свойственной объектам при черчении проектов зданий, либо на компьютере, но с помощью специальных программ, способных выполнить точный расчёт. Программ для построения четырёхмерных объектов, насколько я знаю, нет. Впрочем, вполне возможно, что в программе наподобие 3D Studio MAX можно было бы построить его трёхмерную проекцию, если хорошо разбираться в программе. И то не факт.
Теперь Вам понятно, что такое тессеракт. Если отрезок - это две соединённые между собой отрезком точки, квадрат - два соединённых между собой отрезками отрезка, а куб - два соединённых между собой отрезками квадрата, то тессеракт... да. Два соединённых между собой отрезками куба. А отрезки, соединяющие их, параллельны оси времени, темпусате.
Впрочем, такое определение нельзя назвать геометрически правильным, поскольку воспринимать объект можно по-разному. Я объяснил это так для того, чтобы Вы могли лучше понять структуру объекта и уметь его построить. Как бы там ни было, теперь, располагая полученной информацией и уже зная структуру объекта, можно найти гораздо более лёгкий способ нарисовать тессеракт. Без всяких аналогий и ориентаций на оси: рисуйте привычный куб, а внизу справа от него (на расстоянии, равном a при псевдоискажении (см. рёбро AB на рис. 2.5 - вот такая длина будет у соединяющих отрезков) - ещё один куб, и соединяйте отрезками их соответствующие вершины.
Глядя на тессеракт, не поддавайтесь иллюзии, создаваемой псевдоискажением: два соединённых между собой куба находятся в разных пространствах, но поскольку мы видим лишь проекцию, нам кажется, что они находятся в одном. А если мыслить в двух измерениях - то это и вовсе плоская фигура. Но это не так. Опять же, по-настоящему мыслить в четырёх измерениях, то есть воспринимать 4-е измерение интуитивно, я научу Вас в следующих главах. А пока Вы ещё лучше умеете осознавать его математически.
Пожалуй, на эту главу всё. Вы теперь понимаете, что такое тессеракт, и можете его построить, основываясь на математическом осознании. В следующей главе я познакомлю Вас с ещё одним простым четырёхмерным объектом, несколько более сложным.
Спасибо за внимание.
Nukie.