Рад видеть Вас здесь, за гранью трёхмерного мира.
В этой главе я познакомлю Вас с ещё одним четырёхмерным объектом, относительно простым.
Читать дальшеАналогию придётся соблюдать снова. И снова мы будем двигаться с исходной точки. Причём не только в переносном значении этого слова.
Но, перед тем как обратиться к исходной точке, возьмём за основу исходный трёхмерный объект, четырёхмерный аналог которого мы будем строить. В прошлый раз это был куб, сегодня - тетраэдр.
Для тех, кто
Тетраэдр является частью такой последовательности объектов разных размерностей: аналог тетраэдра размерности 0, его аналог размерности 1, аналог размерности 2, сам тетраэдр, аналог тетраэдра размерности 4.
Перед тем как начать аналогию, вспомним наш метод построения аналогов куба последовательных размерностей, определённый в главе II:
1.) Ввести новую ось.
2.) Расположить два аналога куба предыдущей размерности на расстоянии a друг от друга по новой оси.
3.) Соединить соответствующие вершины объектов отрезками.
Составим метод и для тетраэдра. Я бы мог описать, каким образом составляется этот метод, но: 1.) Для Вас это будет слишком напряжно. 2.) Вы сможете догадаться и сами, если будете вдумываться в то, что читаете (примерно на этапе построения самого тетраэдра).
Итак, метод:
1.) Ввести новую ось.
2.) Расположить аналог тетраэдра предыдущей размерности и аналог тетраэдра размерности 0 на таком расстоянии друг от друга по новой оси, что расстояние от любой точки аналога предыдущей размерности до аналога размерности 0 будет равно a.
3.) Соединить аналог тетраэдра размерности 0 (точку) отрезками со всеми остальными точками.
Теперь вперёд и с
Аналог тетраэдра размерности 0.
Название: точка.
Рис. 3.1
Думаю, объяснять не стоит. Здесь и метод никакой не нужен, размерности ноль бывает только точка.
Далее.
Вводим первое измерение. То есть ось x, абсциссу. Берём аналог тетраэдра размерности ноль и размещаем аналог предыдущей размерности на таком расстоянии от него, что все точки аналога предыдущей размерности будут находиться от аналога размерности 0 на расстоянии a. Аналог предыдущей размерности также обладает размерностью ноль, поэтому это тоже точка. Соединяем две точки и получаем отрезок со стороной a (так же, как было и в случае с кубом).
Аналог тетраэдра размерности 1.
Название: отрезок (=a).
Рис. 3.2
Далее.
Второе измерение. Вводится новая ось. Берём аналог тетраэдра размерности 0 и размещаем аналог предыдущей размерности на таком расстоянии от него, что все точки аналога предыдущей размерности будут находиться от аналога размерности 0 на расстоянии a. То есть: вводим ось y; берём точку и отрезок, равный a (назовём отрезок AB, а точку - C), и располагаем их на таком расстоянии друг от друга по оси y, что расстояние от A до C и от B до C равно a; соединяем точку C со всеми остальными точками. В отрезке AB их две - A и B. Так и соединяем. Получается треугольник, все стороны которого равны a, то есть правильный треугольник. По точкам он обозначается ABC.
Аналог тетраэдра размерности 2.
Название: треугольник (со стороной a). Помните, я подразумеваю только правильный треугольник и правильный тетраэдр.
Рис. 3.3
Далее.
Третье измерение. Тетраэдр, но - действуем по аналогии.
1.) Вводим третью ось - аппликату (z).
2.) Берём аналог тетраэдра предыдущей размерности (треугольник ABC), и размещаем аналог размерности 0 (точку - назовём её D) на таком расстоянии от ABC вдоль оси z, что расстояние от D до A, до B и до C одинаково и равно a.
3.) Соединяем точку D отрезками со всеми остальными точками - A, B и C.
Мы вновь будем делать это в пространстве, не учитывая перспективу, но учитывая псевдоскажения. Чтобы Вы не тратили несколько часов на чтение описания процесса поворотов в трёх измерениях и применения всех псевдоискажений, изображу тетраэдр сразу - так, как он (т. е. его двухмерная проекция) должен выглядеть на плоскости.
Аналог тетраэдра размерности 3.
Название: тетраэдр (правильный, с ребром a).
Рис. 3.4
Тетраэдр ABCD. Не забывайте, что изображение здесь примерное. Расположить точки в зависимости от поворотов в трёх измерениях можно по-разному, но о восприятии объектов в следующих главах.
Далее.
Четырёхмерный объект. Начинаем строить.
1.) Вводим новую ось - t (темпусата).
2.) Берём аналог тетраэдра предыдущей размерности (в данном случае это сам тетраэдр - ABCD) и аналог размерности 0 (точку - E). Располагаем точку E на таком расстоянии от тетраэдра ABCD вдоль оси t, что расстояние от E до A, до B, до C и до D одинаково и равно a.
3.) Соединяем точку E отрезками с точками A, B, C и D.
Получаем плоское изображение двухмерной проекции трёхмерной проекции аналога тетраэдра размерности 4. Видим тетраэдр ABCD, все вершины которого соединены отрезками с точкой E. Не поддавайтесь псевдоискажению - это НЕ трёхмерный объект. Тетраэдр ABCD и точка E лежат в разных пространствах на линии времени (расстояние между этими пространствами таково, что расстояние от E до всех остальных точек одинаково и равно a), т. е. даже каждая точка соединяющих отрезков (имеются в виду лишь отрезки, соединяющие точку E с остальными) находится в отдельном пространстве.
Данный объект называется симплекс. И вновь я сэкономлю Ваше время, не рассказывая досконально о поворотах в четырёхмерном пространстве и псевдоискажениях. Покажу лишь, как выглядит симплекс, изображённый на плоскости.
Аналог тетраэдра размерности 4.
Название: симплекс.
Рис. 3.5
Это симплекс ABCDE. Чтобы лучше понять его структуру, советую смотреть на вспомогательные оси в правом нижнем углу рисунка.
На рисунке много псевдопересечений, но не забывайте, что на самом деле никакие из граней симплекса, будь то одномерные (рёбра), двухмерные (треугольные) или трёхмерные (тетраэдральные) не пересекаются, как и грани тетраэдра.
Как же понимать, что есть симплекс? Если отрезок - это точка, соединённая с точкой, треугольник - точка, соединённая со всеми вершинами отрезка, а тетраэдр - точка, соединённая со всеми вершинами треугольника, то понятно, что симплекс - это точка, соединённая со всеми вершинами тетраэдра. Сквозь четвёртое измерение, время.
Теперь, зная стркутуру объекта, находим лёгкий способ его изобразить: нарисуйте вертикально отрезок, равный a; от его верхней вершины проведите вниз влево (под углом 45°) отрезок, равный отрезку AC на рисунке 3.4, а от нижней вершины - вверх влево (под таким же углом) отрезок такой же длины. Образовавшиеся вершины соедините отрезком. Справа, на расстоянии a от середины этого отрезка изобразите точку. Соедините друг с другом все точки на рисунке. Вот и симплекс.
Мы подошли к концу главы. Теперь вы знаете структуру ещё одного простого четырёхмерного объекта - симплекса, осознаёте его математически и можете построить. В следующей главе я расскажу о способах восприятия четырёхмерных объектов.
Спасибо за внимание.
Nukie.