Я прост, как теория относительности
Конечно, Вам известно, что такое парадокс. Выражаясь самым что ни на есть простым языком, это когда один непреложный факт противоречит другому, такому же неопровержимому.
Я какое-то время интересовался различными парадоксами и пришёл к выводу, что их всё-таки можно разделить на два типа: парадоксы со смыслом и без него.
Читать дальшеК примеру, есть такой парадокс.
Утверждение ниже неверно.
Утверждение выше верно.
Если первое утверждение верно, тогда второе неверно, это значит, что первое всё же неверно, тогда второе верно, тогда первое верно, тогда второе всё-таки неверно... и т. д.
Читал даже, что какой-то учёный умер от бессонницы, пытаясь разрешить этот парадокс.
Я один не могу понять, зачем размышлять над подобным парадоксом? Он не несёт в себе никакого смысла. О практическом применении даже говорить нечего. Размышлять над этим - ходить по кругу, и мозгу это ни к чему.
Есть парадоксы, которые вообще на самом деле парадоксами не являются, ибо противоречия в них на самом деле никакого нет. Например.
Чем больше сыра, тем больше в нём дырок, но, ведь, чем больше дырок, тем меньше сыра. Получается, чем больше сыра, тем меньше сыра?
Сыр - это определённая субстанция, а дырки в нём - это воздух. Если Вы говорите: "чем больше СЫРА", то Вы подразумеваете непосредственное увеличение объёма субстанции, а не того цилиндра / треугольной призмы, какой выглядит продукт.
Но хорошо, допустим, мы подразумеваем сыр как совокупность самой субстанции и пространства в его дырках, то есть, воздуха.
Если объём сыра без учёта дырок, равный вначале, например, 10 см³ (в то время как объём воздуха в дырках, допустим, равен 1 см³, а объём сыра без учёта дырок, таким образом, - 9) увеличивается на, скажем, 5 см³, то нетрудно догадаться, что в соответствии с первоначальной пропорцией сыра и воздуха дырок объём дырок увеличивается примерно на 0,5 см³ (примерно, потому что это сыр, а не идеальный геометрический объект), а объём "фактического" сыра в итоге увеличивается на 4,5 см³ и становится равен 13,5 см³.
Но ведь объём сыра без учёта дырок (который мы взяли за "сыр" в этот раз) - 10+5=15 см³. Чем больше этого сыра, тем его... больше. Никакого противоречия здесь нет. Стало быть, и парадокса тоже. Этот пример лишь показывает, что зависимость объёма "фактического" сыра от объёма сыра с учётом дырок не идеально прямопропорциональна. Когда объём второго увеличивается на 10 см³, то объём первого - на 9 см³. Но меньше сыра от этого не становится.
Другое дело - такой, например, парадокс. Парадокс Монти Холла.
ЧитатьПредставьте, что Вы стали участником игры, в которой Вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает Вас, не желаете ли Вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли Ваши шансы выиграть автомобиль, если Вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
При этом:
- автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей;
- ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой, но только не дверь, которую выбрал игрок, и предложить ему изменить выбор;
- если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.
Математически: вероятность того, что за дверью, которую Вы выбрали вначале, находится автомобиль, - 1/3. Вероятность того, что она находится за одной из двух других дверей, - 2/3. Когда ведущий открывает одну из тех дверей, причём содержащую козу, вероятность того, что автомобиль за ней, становится 0/3. Но вероятность того, что автомобиль за одной из этих двух дверей, - по-прежнему 2/3. Поскольку он точно не за той, которую уже открыли, то вероятность того, что он за той, которую не открыли, - 2/3, в то время как для двери, которую Вы выбрали, вероятность по-прежнему составляет 1/3. То есть, сменив выбор, Вы увеличите вероятность выигрыша, несмотря на то, что интуитивно кажется, что, когда двери остаётся две, то вероятность меняется на 1/2 для обоих из них.
Ещё доказательство: есть три случая, в каждом из которых автомобиль находится за разной дверью. Вот их описание:
Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Результат, если менять выбор Результат, если не менять выбор
Авто Коза Коза Коза Авто
Коза Авто Коза Авто Коза
Коза Коза Авто Авто Коза
Уже отсюда ясно, что, меняя выбор, Вы выигрываете в двух случаях из трёх.
Я долго над этим думал и, в конце концов, пришёл к выводу, что всё это сводится к одному вопросу: имеет ли влияние открытая ведущим дверь на две оставшиеся? Если нет, то это типичный случай нереализованной вероятности, и оставшаяся вероятность для обеих дверей - 1/2. Если имеет, теория верна, и при смене выбора получаем большую вероятность.
На первый взгляд мне тоже показалось, что никакого влияния нет. Но, поразмыслив, я пришёл к противоположному выводу. Ведь в случае 1 (см. таблицу выше) ведущий открывает любую из двух дверей с равной вероятностью. Но в случае 2 он открывает именно ту дверь, за которой коза, НЕ открывая дверь, за которой автомобиль. В случае 3 он опять открывает именно эту дверь не просто так, а потому, что за ней коза. То есть в двух случаях из трёх ведущий открывает именно ту дверь, которую он открыл, специально, потому что за другой находится автомобиль. То есть на его решение оказывает влияние расположение объектов за дверьми.
Говоря проще, СКОРЕЕ всего, ВЕРОЯТНЕЕ всего (вероятность 2/3), он открыл именно ЭТУ дверь, а не другую, потому что за другой находится автомобиль, а не просто так. Поэтому теория верна.
Итак, здесь есть смысл. Противоречие состоит в том, что вероятность должна стать 1/2 для каждой двери, но это не так, и она разная. Вот и настоящий парадокс.
Но вот насчёт практического применения... разве что Вы действительно когда-нибудь столкнётесь с подобным выбором. Но здесь, по крайней мере, действительно есть парадокс, имеющий смысл, и есть над чем подумать.
Ещё пара интересных случаев.
ПервыйВы подбрасываете монету 10 раз. Каждый раз вероятность выпадения орла - 1/2, но вероятность того, что орёл выпадет 10 раз подряд, составляет лишь 1/1024.
Вы бросили девять раз, и каждый раз выпал орёл. Означает ли это, что теперь вероятность выпадения орла в 10-й раз составляет 1/1024, и разумнее поставить на решку?
На самом деле нет. Дело в том, что каждый раз, когда Вы подбрасываете монету и узнаёте результат, вероятность того, что все 10 раз будет орёл, становится в два раза выше, то есть после первого подбрасывания уже 1/512, поскольку вероятность того, что орёл выпадет в первый раз, теперь составляет 1/1, ведь он выпал. После второго раза уже 1/256, и после девятого - 1/2. Поэтому значения не имеет, на что вы поставите.
ВторойДвум математикам дали по конверту. В одном из конвертов лежит определённая сумма денег, в другом - сумма или в два раза большая, или в два раза меньшая. Каждый из участников может вскрыть свой конверт, но нельзя рассказывать друг другу о сумме. После этого им предлагают обменяться конвертами.
Оба математика рассуждают так: допустим, у меня в конверте сумма денег x. Тогда у моего партнёра - либо 2x, либо 1/2x - столько я получу при обмене. Среднее арифметическое - 2x+1/2x=2.5x, и 2.5x/2=1.25x. Таким образом, при обмене я вместо x получу 1.25x в среднем, стало быть, обмен выгоден. Однако так рассуждают оба - получается, что обмен выгоден обоим? Но ведь один из них получит меньше, чем у него было - как так может быть?
Суть проста. Тут надо считать, не во сколько раз у партнёра больше/меньше денег, а насколько. Допустим, у Вас в конверте $10. Тогда у Вашего партнёра либо $20, либо $5. Если у него $20, то при обмене Вы получите $10 сверх текущей суммы, а если у него $5, то на $5 меньше. То есть в случае выигрыша выгода составляет 10 долларов, а в случае проигрыша потеря составляет всего 5.
Так же должен рассуждать и Ваш партнёр. У него, допустим, $20. Тогда у Вас, как считает он, либо $40, либо $10. Для него при обмене выгода составила бы $20, а в случае проигрыша потеря составила бы лишь 10$. Поэтому меняться действительно выгодно Вам обоим.
Я какое-то время интересовался различными парадоксами и пришёл к выводу, что их всё-таки можно разделить на два типа: парадоксы со смыслом и без него.
Читать дальшеК примеру, есть такой парадокс.
Утверждение ниже неверно.
Утверждение выше верно.
Если первое утверждение верно, тогда второе неверно, это значит, что первое всё же неверно, тогда второе верно, тогда первое верно, тогда второе всё-таки неверно... и т. д.
Читал даже, что какой-то учёный умер от бессонницы, пытаясь разрешить этот парадокс.
Я один не могу понять, зачем размышлять над подобным парадоксом? Он не несёт в себе никакого смысла. О практическом применении даже говорить нечего. Размышлять над этим - ходить по кругу, и мозгу это ни к чему.
Есть парадоксы, которые вообще на самом деле парадоксами не являются, ибо противоречия в них на самом деле никакого нет. Например.
Чем больше сыра, тем больше в нём дырок, но, ведь, чем больше дырок, тем меньше сыра. Получается, чем больше сыра, тем меньше сыра?
Сыр - это определённая субстанция, а дырки в нём - это воздух. Если Вы говорите: "чем больше СЫРА", то Вы подразумеваете непосредственное увеличение объёма субстанции, а не того цилиндра / треугольной призмы, какой выглядит продукт.
Но хорошо, допустим, мы подразумеваем сыр как совокупность самой субстанции и пространства в его дырках, то есть, воздуха.
Если объём сыра без учёта дырок, равный вначале, например, 10 см³ (в то время как объём воздуха в дырках, допустим, равен 1 см³, а объём сыра без учёта дырок, таким образом, - 9) увеличивается на, скажем, 5 см³, то нетрудно догадаться, что в соответствии с первоначальной пропорцией сыра и воздуха дырок объём дырок увеличивается примерно на 0,5 см³ (примерно, потому что это сыр, а не идеальный геометрический объект), а объём "фактического" сыра в итоге увеличивается на 4,5 см³ и становится равен 13,5 см³.
Но ведь объём сыра без учёта дырок (который мы взяли за "сыр" в этот раз) - 10+5=15 см³. Чем больше этого сыра, тем его... больше. Никакого противоречия здесь нет. Стало быть, и парадокса тоже. Этот пример лишь показывает, что зависимость объёма "фактического" сыра от объёма сыра с учётом дырок не идеально прямопропорциональна. Когда объём второго увеличивается на 10 см³, то объём первого - на 9 см³. Но меньше сыра от этого не становится.
Другое дело - такой, например, парадокс. Парадокс Монти Холла.
ЧитатьПредставьте, что Вы стали участником игры, в которой Вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает Вас, не желаете ли Вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли Ваши шансы выиграть автомобиль, если Вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
При этом:
- автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей;
- ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой, но только не дверь, которую выбрал игрок, и предложить ему изменить выбор;
- если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.
Математически: вероятность того, что за дверью, которую Вы выбрали вначале, находится автомобиль, - 1/3. Вероятность того, что она находится за одной из двух других дверей, - 2/3. Когда ведущий открывает одну из тех дверей, причём содержащую козу, вероятность того, что автомобиль за ней, становится 0/3. Но вероятность того, что автомобиль за одной из этих двух дверей, - по-прежнему 2/3. Поскольку он точно не за той, которую уже открыли, то вероятность того, что он за той, которую не открыли, - 2/3, в то время как для двери, которую Вы выбрали, вероятность по-прежнему составляет 1/3. То есть, сменив выбор, Вы увеличите вероятность выигрыша, несмотря на то, что интуитивно кажется, что, когда двери остаётся две, то вероятность меняется на 1/2 для обоих из них.
Ещё доказательство: есть три случая, в каждом из которых автомобиль находится за разной дверью. Вот их описание:
Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Результат, если менять выбор Результат, если не менять выбор
Авто Коза Коза Коза Авто
Коза Авто Коза Авто Коза
Коза Коза Авто Авто Коза
Уже отсюда ясно, что, меняя выбор, Вы выигрываете в двух случаях из трёх.
Я долго над этим думал и, в конце концов, пришёл к выводу, что всё это сводится к одному вопросу: имеет ли влияние открытая ведущим дверь на две оставшиеся? Если нет, то это типичный случай нереализованной вероятности, и оставшаяся вероятность для обеих дверей - 1/2. Если имеет, теория верна, и при смене выбора получаем большую вероятность.
На первый взгляд мне тоже показалось, что никакого влияния нет. Но, поразмыслив, я пришёл к противоположному выводу. Ведь в случае 1 (см. таблицу выше) ведущий открывает любую из двух дверей с равной вероятностью. Но в случае 2 он открывает именно ту дверь, за которой коза, НЕ открывая дверь, за которой автомобиль. В случае 3 он опять открывает именно эту дверь не просто так, а потому, что за ней коза. То есть в двух случаях из трёх ведущий открывает именно ту дверь, которую он открыл, специально, потому что за другой находится автомобиль. То есть на его решение оказывает влияние расположение объектов за дверьми.
Говоря проще, СКОРЕЕ всего, ВЕРОЯТНЕЕ всего (вероятность 2/3), он открыл именно ЭТУ дверь, а не другую, потому что за другой находится автомобиль, а не просто так. Поэтому теория верна.
Итак, здесь есть смысл. Противоречие состоит в том, что вероятность должна стать 1/2 для каждой двери, но это не так, и она разная. Вот и настоящий парадокс.
Но вот насчёт практического применения... разве что Вы действительно когда-нибудь столкнётесь с подобным выбором. Но здесь, по крайней мере, действительно есть парадокс, имеющий смысл, и есть над чем подумать.
Ещё пара интересных случаев.
ПервыйВы подбрасываете монету 10 раз. Каждый раз вероятность выпадения орла - 1/2, но вероятность того, что орёл выпадет 10 раз подряд, составляет лишь 1/1024.
Вы бросили девять раз, и каждый раз выпал орёл. Означает ли это, что теперь вероятность выпадения орла в 10-й раз составляет 1/1024, и разумнее поставить на решку?
На самом деле нет. Дело в том, что каждый раз, когда Вы подбрасываете монету и узнаёте результат, вероятность того, что все 10 раз будет орёл, становится в два раза выше, то есть после первого подбрасывания уже 1/512, поскольку вероятность того, что орёл выпадет в первый раз, теперь составляет 1/1, ведь он выпал. После второго раза уже 1/256, и после девятого - 1/2. Поэтому значения не имеет, на что вы поставите.
ВторойДвум математикам дали по конверту. В одном из конвертов лежит определённая сумма денег, в другом - сумма или в два раза большая, или в два раза меньшая. Каждый из участников может вскрыть свой конверт, но нельзя рассказывать друг другу о сумме. После этого им предлагают обменяться конвертами.
Оба математика рассуждают так: допустим, у меня в конверте сумма денег x. Тогда у моего партнёра - либо 2x, либо 1/2x - столько я получу при обмене. Среднее арифметическое - 2x+1/2x=2.5x, и 2.5x/2=1.25x. Таким образом, при обмене я вместо x получу 1.25x в среднем, стало быть, обмен выгоден. Однако так рассуждают оба - получается, что обмен выгоден обоим? Но ведь один из них получит меньше, чем у него было - как так может быть?
Суть проста. Тут надо считать, не во сколько раз у партнёра больше/меньше денег, а насколько. Допустим, у Вас в конверте $10. Тогда у Вашего партнёра либо $20, либо $5. Если у него $20, то при обмене Вы получите $10 сверх текущей суммы, а если у него $5, то на $5 меньше. То есть в случае выигрыша выгода составляет 10 долларов, а в случае проигрыша потеря составляет всего 5.
Так же должен рассуждать и Ваш партнёр. У него, допустим, $20. Тогда у Вас, как считает он, либо $40, либо $10. Для него при обмене выгода составила бы $20, а в случае проигрыша потеря составила бы лишь 10$. Поэтому меняться действительно выгодно Вам обоим.
@темы: мысли, парадоксы, интересное